Variétés Rationnelles. (Page 1)

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Séminaire "Variétés rationnelles"

Organisé par le DMA
Responsables : P. Gille, O. Wittenberg.

2009 - 2010

Ecole normale supérieure, Salle W, 45 rue d'Ulm, 75005 Paris

Horaire : le vendredi, une fois par mois, à 16h

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Prochaines dates:   19 février, 19 mars, 16 avril, 21 mai, 11 juin.

Vendredi 19 février   (exceptionnellement à l'Institut Henri Poincaré, salle 314)

16h-17h: Jean-Marc COUVEIGNES (Toulouse) Obstructions globales à la descente des variétés

Soit K un   corps de caractéristique nulle et soit X une variété sur
la clôture algébrique de K. On suppose que X est isomorphe à toutes ses conjuguées
par le groupe de Galois absolu de K. Autrement dit, le corps des modules de X est
K. Soit L une extension algébrique de K. On dit que L est corps de définition de X s'il existe
une variété sur L qui devient isomorphe à X après extension des scalaires.
On peut se demander quels sont les corps de définition de X.
On dit qu'il y a une obstruction à la descente si K lui même n'est pas corps de définition.
Dans le cas où K est un corps de nombres, on peut se demander si une obstruction est
locale ou globale. Je présenterai les exemples d'obstructions globales pour les variétés, que
nous avons construits avec Emmanuel Hallouin. Je m'appuierai sur des obstructions
globales à la descente dans la catégorie des revêtements, construites naguère
avec Nicolas Ros. Je montrerai comment faire voyager ces obstructions depuis la
catégorie des revêtements vers celle des variétés.

17h30-18h30: David HARARI (Orsay): Descente sur les variétés non propres

Soit X une variété algébrique définie sur un corps de nombres k.
La théorie classique de la descente de Colliot-Thélène et Sansuc (raffinée par
Skorobogatov) consiste en gros à décrire les propriétés arithmétiques de X via
celles des X-torseurs sous les groupes de type multiplicatif. Les résultats
principaux de cette théorie nécessitent l'hypothèse que X est propre, ou tout au
moins que les seules fonctions inversibles sur X sont constantes. On expliquera
comment on peut s'affranchir de cette hypothèse à condition de travailler avec
l'hypercohomologie de certains complexes au lieu de considérer seulement des
modules galoisiens.

Vendredi 22 janvier (exceptionnellement à l'Institut Henri Poincaré, salle 314)

14h30-15h30: Baptiste CALMES (Lens)

            Cobordisme algébrique des variétés de drapeaux
               (collaboration avec Petrov et Zainoulline)

Résumé: Nous généralisons les résultats classiques de Demazure dans "Invariants symétriques 
entiers du group de Weyl et torsion" aux théories cohomologiques orientées et lois de groupe formel 
associées quelconques. Comme exemple d'application, nous en tirons un algorithme pour calculer
 la structure d'anneau d'une théorie cohomologique orientée appliquée à une variété de drapeaux 
complets. Les groupes de Chow, le groupe de Grothendieck, la K-théorie connective, le cobordisme 
algébrique de Levine et Morel, etc. sont des exemples de telles théories cohomologiques.
L'ingrédient principal de la construction est un anneau complet construit à partir de la loi de groupe formel
 de la théorie orientée considérée, et qui remplace l'algèbre symétrique sur les caractères du tore qui 
intervient dans les travaux de Demazure.

16h-17h: Marc LEVINE (Essen) Rational points, 0-cycles and S¹ spectra

Our motivating question is: how can one construct invariants that distinguish between the existence
of a rational point and the existence of a 0-cycle of degree 1 on some variety X. We look at this
question through the lens of motivic homotopy theory. Here one can use an analog of the classical
Postnikov tower to study properties of the ``S¹-stable homotopy type" of a variety X. For some special X,
this breaks up the homotopy type of X into pieces which can be understood as motives, and thus gives
invariants which can be used for a study of the motivating question.

17h30-18h30: Mathieu FLORENCE (IMJ)

Géométrie birationnelle équivariante des grassmanniennes

Soient K un corps et A une K-algèbre de dimension finie n. Soit r un entier satisfaisant 0 <: r < n.
La grassmanienne Gr(r,A) est naturellement munie d'une action du groupe algébrique PGL₁(A).
Avec des hypothèses sur A (par exemple A/K est étale) , nous montrons qu'il existe un
isomorphisme birationnel PGL₁(A)-équivariante entre Gr(r,A) et le produit Gr(pgcd(r,n),A)
par un espace affine sur lequel PGL₁(A) agit trivialement. Cela permet de montrer que si A est
une algèbre simple centrale de degré n alors la variété de Severi-Brauer généralisée SB(r,A)
est birationnelle au produit de SB(pgcd(r,n),A) par un espace affine.

Vendredi 4 décembre (exceptionnellement à l'Institut Henri Poincaré, salle 201)

14h30-15h30: Jean-Claude DOUAI (Lille)


   Sur un exemple-type de "bon" corps de dimension cohomologique 2"

Résumé: Dans un article à Duke,Colliot-Thelene,Gille et Parimala ont
considéré des corps K de dimension cohomologique 2, de type géométrique,
analogue à des corps de nombres purement imaginaires qu'ils appellent des
"bons" corps.Un exemple standard est le corps C((x,y)) dit local-local
((ll)).En utilisant les résultats de Borovoi,ils calculent la cohomologie
de K a valeurs dans un groupe semi-simple en dimension 1 et 2. Le but de
l'expose est d'étendre leurs resutats a des corps de dimension
cohomologique 2 qui ne sont plus de type géometrique comme les corps (ll),
mais satisfont au Principe de Hasse. Par Efrat,un exemple de tel corps K
 est donne par un corps de fonctions en une variable sur un corps PAC. Nous
voulons montrer qu'il est possible de calculer la 2-cohomologie non
abélienne  de K à valeurs dans un K-groupe réductif.Evidemment,nous
calculerons aussi la 1-cohomologie a l'aide de la conjecture de Serre. On
montrera ainsi que les corps de fonctions en une variable sur un	
 corps PAC sont de "bons" corps."

16h-17h: Matthieu ROMAGNY (IMJ)

          Réduction d'actions de schémas en groupes et modèles effectifs

Résumé : Lorsqu'on souhaite fabriquer des espaces de modules compacts pour
des variétés algébriques (par exemple des courbes) avec action d'un groupe
algebrique G, la verification du critere valuatif de propreté nous place
souvent dans la situation suivante. On a un anneau de valuation discrète R
de corps de fractions K, et une K-variété X munie d'une action de G. On
suppose disposer d'un modèle X' de X sur R : par exemple son modèle stable, pour une courbe.
Se pose alors la question de trouver une action d'un modèle G' de G qui étende a X' l'action sur X.
Je montrerai que, sous des hypothèses naturelles de "pureté", il existe un unique modèle G' qui agit sur X',
fidèlement dans les fibres. La demonstration, originale, utilise les sous-schémas de X' finis et plats sur R,
et des propriétés de recollement de X' le long de ces sous-schémas.

17h30-18h30: Philippe GILLE (DMA)

                          La conjecture de Grothendieck-Serre sur les G-torseurs
                     rationnellement triviaux (d'après Panin et al).

Résumé: Le but de l'exposé est de présenter les résultats de Panin-Stavrova-Vavilov sur cette conjecture,
c'est-à-dire la prépublication http://arxiv.org/abs/0905.1418. Soit k un corps infini et R un anneau
semi-local d'une variété lisse X/k. Soit G/R un schéma en groupes réductifs dont les composantes presque
simples sont isotropes. Alors tout G-torseur sur Spec(R) qui est rationnellement trivial est trivial.

Vendredi 6 novembre (exceptionnellement à l'Institut Henri Poincaré, salle 314)

14h40-15h40: Damiano TESTA (Oxford) : Grosses surfaces rationnelles

Résumé: L'anneau de Cox d'une variété propre est un analogue de l'anneau des coordonnées homogènes
de l'espace projectif. Il n'est pas toujours défini, et lorsqu'il l'est, il n'est pas nécessairement de type fini. Les variétés
dont l'anneau de Cox est de type fini sont particulièrement bien adaptées au programme des modèles
minimaux ("Mori dream spaces"). Les variétés toriques et les surfaces de del Pezzo sont de telles variétés. Je présenterai
un travail en collaboration avec T. Várilly et M. Velasco dans lequel on introduit une classe de surfaces projectives lisses
à anneaux de Cox de type fini. Cette classe contient les surfaces toriques ainsi que les surfaces de (log) del Pezzo.

16h-17h: Tim BROWNING (Bristol)

			Valeurs d'un polynôme quadratique representées par une norme


Soit K une extension finie de degré n du corps Q des nombres rationnels.  On discute le principe de Hasse et 
l'approximation faible pour les équations diophantiennes P(t)=N_K/Q(w_1 x_1+...+w_n x_n), avec P un polynôme 
de degré 2 et (w_1,...,w_n) une base de K sur Q. Ceci est un travail en commun avec Roger Heath-Brown.

17h30-18h30 : Yong HU (Orsay)

             Approximation faible sur les corps de fonctions des courbes
                sur les corps fertiles et les corps finis

Soit K=k(C) le corps de fonctions d'une courbe sur un corps k et soit X
une variété lisse, projective, séparablement rationnellement connexe
sur K. En 2006, Hassett et Tschinkel ont utilisé une méthode de déformation
pour établir l'approximation faible. Ils ont montré que l'approximation faible
vaut aux places de bonne réduction lorsque le corps k est
algébriquement clos. Dans cet exposé je passe leur méthode en revue et j'en donne
des applications lorsque le corps k est fertile ou fini. En particulier, j'esquisse la
démonstration du résultat suivant : Soient k un corps fini, K=k(C) un
corps de fonctions d'une variable et X une hypersurface cubique lisse sur K=k(C).
Supposons que X admet un modèle projectif sur C dont l'espace total est lisse et que X(K) est
non vide. Alors la spécialisation en un   nombre fini de places de bonne réduction est surjective, dès
que le cardinal de k est plus grand qu'une constante qui ne dépend que de la dimension de X. article.

Vendredi 2 octobre (exceptionnellement à l'Institut Henri Poincaré, salle 201)

16h-17h: Laurent MANIVEL (Institut Fourier, Grenoble)

                Les cubiques de dimension sept et le groupe exceptionnel E6

Parmi les cubiques (complexes) de dimension quatre que l'on sait être 
rationnelles figurent les cubiques pfaffiennes, dont la géométrie est liée à  
celle de la grassmannienne des droites dans l'espace projectif de dimension 
cinq. Je discuterai d'un lien similaire entre les cubiques de dimension sept 
et le plan de Cayley, le plus remarquable des espaces homogènes sous E6.

17h30-18h30 : Alena PIRUTKA (Orsay et DMA)

Sur les variétés rationnellement simplement connexes:
surfaces tordantes et R-équivalence

Résumé: Les variétés rationnellement simplement connexes sont l'analogue des espaces simplement
connexes en topologie. D'après un résultat de de Jong et Starr, les intersections complètes lisses
dans Pⁿ de multidegré d₁,... d_r avec la somme des d_i² <= n+1 sont rationnellement simplement
connexes, à l'exception des quadriques dans P³. Je vais présenter leur méthode et en donner une
application : pour une intersection complète lisse X dans Pⁿ_K où K est un corps de fonctions d'une
variable sur C sous la même hypothèse sur les degrés, on a X(K)/R=1.