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Martin Andler (*)
Les mathématiques jouent un rôle important depuis plus d'un siècle à l'École normale supérieure qui est un des établissements dans le monde ayant formé le plus de grands mathématiciens. Sur les dix mathématiciens dont les travaux ont été réalisés en France ayant obtenu la médaille Fields (l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiques), huit sont d'anciens élèves de l'ENS (plus qu'aucune autre institution dans le monde).
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Pendant la plus grande partie du XIXème siècle,
les archicubes (anciens élèves de l'ENS) devenaient
des professeurs de lycée. Avec des exceptions, dont celle,
et non des moindres, d'Évariste Galois - grand parmi les grands mathématiciens.
Mais c'est un cas isolé. C'est à la fin du XIXème
siècle
que la situation change. Gaston Darboux, qui était reçu
premier aux deux concours en 1861, choisit l'École normale
au lieu de l'École polytechnique. Un peu plus tard, une
série
de futurs mathématiciens remarquables deviennent élèves
de l'ENS. Parmi eux (avec la promotion entre parenthèses)
: Tannery (1866), Floquet (1869), Appell (1872), Picard (1873),
Goursat (1876), Koenigs (1879), Painlevé (1883), Hadamard
et Vessiot (1884), Cartan (1888), Borel et Drach (1889), Baire
(1892), Lebesgue (1894), Montel (1895), Villat (1899). Avec eux,
au début du XXème
siècle, les normaliens asseoient leur domination de la vie
mathématique
française, à une exception (notable) près
: Henri Poincaré, polytechnicien, figure dominante, avec
David Hilbert, des mathématiques mondiales.
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Au congrès international des mathématiciens
de 1924 à Toronto (ce congrès se tient tous les
quatre ans depuis la fin du XIXème siècle - avec
des interruptions pendant les deux guerres mondiales), il fut
proposé, par le mathématicien canadien John C.
Fields, de décerner, à chaque congrès, deux
médailles en or pour récompenser des progrès
remarquables en mathématiques. Fields, qui regrettait
l'absence d'un prix Nobel en mathématiques, était
également très soucieux que l'on sorte des attitudes
liées à la Première guerre mondiale : les
mathématiciens allemands n'avaient pas été
invités au Congrès de 1924. Les prix auxquels il
pensait seraient véritablement internationaux, sans aucune
exclusive. |
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1950 : Laurent Schwartz 1954 : Jean-Pierre
Serre
Jean-Pierre Serre est né le 15 septembre 1926 à Bages (Pyrénées Orientales). C'est à Nimes qu'il fait ses études secondaires jusqu'en 1944. L'année suivante il est reçu à l'École normale supérieure. Ce n'est qu'en 3ème année d'école qu'il rencontre Cartan, qui ne s'y est installé définitivement qu'à la rentrée 1947. Malgré la préparation de l'agrégation (qu'il prend très au sérieux : le caïman Frenkel lui avait dit que les places au CNRS seraient attribuées en fonction des résultats de l'agrégation - il sera reçu 1er), il prend le temps d'aller suivre les cours de Leray au Collège de France sur la théorie des faisceaux, et le premier séminaire Cartan. En 1948, il s'impose à un congrès Bourbaki sans y avoir vraiment été invité. Au terme de ce congrès, il est admis comme "cobaye", c'est-à-dire stagiaire dans le jargon de Bourbaki. Il devient membre de Bourbaki à part entière peu après. Bénéficiant de l'aide du mathématicien suisse Armand Borel, Serre se met à la théorie des faisceaux et aux suites spectrales inventées par Leray pendant la guerre. Il s'en sert pour écrire sa thèse, soutenue en mai 1951, sur les groupes d'homotopie des sphères. C'est ce travail en particulier qui impressionne le plus le comité Fields et qui lui vaut la médaille en 1954. Mais entretemps - et le comité Fields en tient également compte - Serre, en partie en collaboration avec Cartan, a abordé l'étude des variété analytiques complexes : annulation de certains groupes de cohomologie des variétés de Stein, théorème de dualité, ainsi qu'une conjecture sur une généralisation du théorème de Riemann-Roch en dimension quelconque. C'est en 1955 que Leray lui suggère d'être candidat au Collège de France, où il est élu en 1956 - à l'âge de 30 ans. Il y professera 38 ans avant de prendre sa retraite en 1994. La médaille Fields doit récompenser un travail remarquable - mais elle doit aussi, selon le legs de Fields, encourager le médaillé à poursuivre son travail. Serre, 40 ans après sa médaille, poursuit, avec une énergie et un enthousiasme que bien des thésards pourraient lui envier. Son parcours scientifique est éloquent : ses nombreux articles, depuis plus de 40 ans, portent sur des aspects très différents des mathématiques : géométrie algébrique, théorie des groupes, théorie des nombres... Si Serre a eu directement peu d'élèves, il a eu une influence considérable sur de très nombreux jeunes mathématiciens. Par ses "cours aux carrés", à l'ENS et à l'ENSJF. Et par ses cours au Collège de France, pour les chercheurs plus avancés, qui furent, pendant des lustres, un rendez-vous hebdomadaire important en mathématiques. 1958 : René Thom
René Thom est né le 2 septembre 1923 à Montbéliard et décédé le 25 octobre 2002 à Bures-sur-Yvette. Il "monte" à Paris, au lycée Saint Louis pour préparer les grandes écoles et est reçu à l'École normale en 1943 où Henri Cartan est le professeur de mathématiques. À sa sortie de l'École, il rejoint Cartan à Strasbourg, et y reste jusqu'à sa thèse soutenue devant la faculté des sciences de Paris en 1951. Strasbourg est, à cette époque, un centre exceptionnel en géométrie. Il y enseigne jusqu'en 1963, date de sa nomination à l'Institut des hautes études scientifiques. L'oeuvre scientifique de Thom peut se diviser en trois périodes. Pendant la première période, qui va environ de la fin des années 1940 à la fin des années 1950, il s'intéresse à la topologie (la topologie algébrique). La deuxième période, qui correspond aux années 1960 (mais dont on remarque des signes précurseurs dès 1955), voit le développement de ses idées sur les applications différentiables et leurs singularités. Dans la troisième période, depuis la fin des années 1960 , Thom s'éloigne des mathématiques. Son livre, Stabilité structurelle et morphogenèse, paru en 1972, qui est, de son point de vue, son travail le plus important, montre comment le formalisme mathématique de la théorie des catastrophes fournit un cadre, un langage, dans lequel s'expriment un certain nombre de phénomènes naturels. Mais pour les mathématiciens, c'est par son oeuvre mathématique que Thom entrera dans l'histoire. Comme le dit Hopf dans sa présentation des travaux de Thom au Congrès d'Edimbourg de 1958 où Thom obtint la médaille : "[...] L'oeuvre de Thom a quelque chose d'inhabituellement encourageant et réjouissant : certes, il domine et utilise évidemment les aspects algébriques modernes de ses problèmes ; mais ses idées de base viennent en totalité de l'intuition géométrique." 1982 : Alain
Connes
Alain Connes et né le 1er avril 1947. Après des études secondaires à Draguignan, et des classes préparatoires à Marseille , il est reçu à l'École normale supérieure en 1966. Il travaille d'abord en analyse, sous la direction de G. Choquet, publiant plusieurs notes aux comptes rendus de l'Académie des sciences en 1969 et 1970. Entré au CNRS en 1970, il se tourne vers les algèbres d'opérateurs, travaillant sous la direction de J. Dixmier avec qui il fait sa thèse en 1973. Dans celle-ci, il résout le vieux problème de classification [1] des facteurs de type III dans la théorie des algèbres de von Neumann et d'autres questions dans la théorie des algèbres d'opérateurs. C'est pour l'ensemble de ces travaux que Connes reçoit la médaille Fields en 1982 [2] . C'est à partir de 1977 qu'il commence à étendre considérablement le spectre de ses intérêts en commençant à développer une philosophie qu'il baptisera plus tard "géométrie non-commutative", où les algèbres d'opérateurs (non commutatives) qu'il a étudiées jouent un rôle analogue, pour des "espaces non-commutatifs", aux algèbres commutatives pour les espaces ordinaires. C'est en physique que ces idées trouvent un cadre naturel d'application. Ce n'est guère étonnant si l'on se souvient des origines de l'étude des algèbres d'opérateurs ; il s'agissait, pour von Neumann, de fournir un cadre mathématique rigoureux pour la mécanique quantique dans le point de vue de Heisenberg. La carrière de Connes l'a amené du CNRS à l'université Paris VI, puis de nouveau au CNRS, et enfin au Collège de France. Il effectue une partie de sa recherche à l'Institut des hautes études scientifiques de Bures-sur-Yvette, où il est titulaire la la chaire Léon Motchane. C'est un conférencier inspiré, dont la force de conviction est tout à fait étonnante. Il a eu de nombreux étudiants. [1] Pour la description des travaux d'Alain Connes, se référer à l'exposé de H. Araki "The Work of Alain Connes" paru dans les Proceedins of the International Congress of Mathematicians, Varsovie 1983, ainsi que l'exposé de P. Cartier dans la Gazette des mathématiciens, numéro 21, 1983. [2] Pour la petite histoire (du point de vue des médailles), on se souviendra de l'interférence de l'Histoire avec le congrès de Varsovie, prévu en 1982, qui ne s'est tenu qu'en 1983 en raison de "l'état de guerre" en vigueur en 1982 après le putsch de Jaruzelski. Les médailles ont malgré tout été annoncées dès 1982, mais n'ont été remises que l'année suivante.
1994 : Pierre-Louis
Lions
Pierre-Louis Lions est né en 1956 à Grasse. Après des études secondaires et en classes préparatoires à Paris, il est reçu à l'École normale supérieure en 1975. S'écartant immédiatement des chemins habituels à l'ENS, il s'oriente vers les mathématiques appliquées. Il ne passe pas l'agrégation, comme c'est l'usage parmi les normaliens mathématiciens, préférant se consacrer à la recherche le plus rapidement possible. Ses succès en recherche ne tardent pas, puisqu'il soutient sa thèse de doctorat ès-sciences dès 1979, juste à sa sortie de l'École - à un âge où les meilleurs normaliens sont contents de terminer une thèse de 3ème cycle. Entré au CNRS en 1979, il le quitte en 1981 pour devenir professeur à Paris IX Dauphine, où il enseigne toujours. Il a dirigé le CEREMADE (Centre de recherche en mathématiques de la décision), unité CNRS/Paris IX- Dauphine. Également professeur à l'École polytechnique depuis 1993, il est actuellement détaché au CNRS. Le travail de Pierre-Louis Lions est à la fois d'une grande diversité et d'une grande unité. La diversité se situe au niveau de la variété des domaines d'application des mathématiques qu'il aborde : contrôle optimal, gestion de stocks, contrôle stochastique, physique des plasmas, chimie atomique, mécanique des fluides, traitement d'images, économie et finances. On trouve l'unité dans l'aspect mathématique ; ce qui traverse en effet tous ces champs d'application est l'étude des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Nous pouvons notamment citer les travaux de Pierre-Louis Lions sur les solutions de viscosité pour les équations de Hamilton-Jacobi, la théorie de la concentration-compacité , les équations cinétiques, les modèles de la chimie quantique et les équations de la mécanique des fluides. 1994 : Jean-Christophe
Yoccoz
Jean-Christophe Yoccoz est né le 29 mai 1957. Après un parcours scolaire et universitaire, à Strasbourg, Grenoble puis Paris, éblouissant (1er prix de concours général de mathématiques, reçu 1er à l'École normale et à l'École polytechnique, 1er ex aequo à l'agrégation de mathématiques), il se lance dans la recherche sous la direction de Michel Herman qui, en 1976, avait accompli des progrès décisifs dans la théorie des systèmes dynamiques. Cette discipline, dont les premiers résultats très profonds avaient pourtant été démontrés par Henri Poincaré à la fin du XIXème siècle, avait été longtemps délaissée en France. De quoi s'agit-il ? Décrire l'évolution à long terme d'un système dont on connait l'évolution instantanée. Par exemple, le mouvement des planètes autour du soleil (systèmes dynamiques en temps continu) et problèmes d'itération (système dynamiques en temps discret). Yoccoz s'est particulièrement intéressé aux problèmes d'itération dans deux situations : quand l'espace sous-jacent est un cercle où il améliore le résultat de Herman, et quand c'est le plan complexe. Dans ce domaine, Yoccoz a donné une nouvelle démonstration d'un théorème de Bruno qui donnait une condition nécessaire de linéarisabilité, mais surtout une réciproque, caractérisant ainsi les polynômes linéarisables. Yoccoz s'est aussi intéressé à la topologie de l'ensemble de Mandelbrot, ensemble bien connu par ses propriétés fractales et les magnifiques images que donnent sa représentation. Son étude mathématique avait été commencée par Douady et Hubbard. Pour cette étude, il utilise une méthode, appelée maintenant "puzzle de Yoccoz". Les systèmes dynamiques sont un des rares domaines en mathématiques où des problèmes non résolus peuvent se formuler de manière relativement simple. Ce n'est pas pour autant un domaine facile, bien au contraire. Il faut, pour y réussir, une vision géométrique, une finesse d'analyste et une grande capacité combinatoire. Peut-être Jean-Christophe Yoccoz a-t-il développé ses capacités en jouant aux échecs - avec là aussi un succès certain, puisqu'il a atteint il y a quelques années un classement ELO de 2200 points ? 2002 : Laurent Lafforgue Laurent Lafforgue est entré au CNRS en 1990 comme Chargé de Recherche au Laboratoire de Mathématiques d'Orsay. Il y a travaillé au sein de l'équipe "Arithmétique et Géométrie Algébrique". En 1994, il a soutenu sa thèse sur les "D-chtoucas de Drinfeld" sous la direction de Gérard Laumon. En Octobre 2000, il est promu Directeur de Recherche et un mois plus tard, il a rejoint l'Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS) à Bures-sur-Yvette comme professeur permanent. Ensuite, Laurent Lafforgue a poursuivi ses recherches sur le même sujet, et en juillet 2000 il achevait sa démonstration d'une conjecture rattachée à la "correspondance de Langlands" sur les corps de fonctions. En 1967, le mathématicien canadien Robert P. Langlands alors en poste à l'Université de Yale aux Etats-Unis, écrivit une lettre manuscrite de 17 pages à André Weil, dans laquelle il y présentait un certain nombre d'hypothèses et d'idées profondes, qui esquissaient des liens étroits et surprenant entre des classes d'objets mathématiques de natures différentes. Laurent Lafforgue a prouvé la correspondance de Langlands (pour tout n) pour les "corps de fonctions rationnelles sur une courbe définie sur un corps fini". Sa démonstration dans la publication intitulée "Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands pour GLr sur les corps de fonctions" occupe 240 pages de la revue professionnelle Inventiones mathematica, à quoi il faut ajouter les nombreux et volumineux travaux déjà publiés sur lesquels elle s'appuie. L'importance de son travail est reconnue par l'attribution de la médaille Fields le 20 août 2002 à Pékin. 2006 : Wendelin Werner Wendelin Werner, professeur à l'université de Paris-Sud (Orsay) et à l'École normale Supérieure est l'un des quatre lauréats de la médaille Fields 2006, remise le 22 août à Madrid lors de l'ouverture du 25ème Congrès International des Mathématiciens. Ancien élève de l'École normale supérieure (1987-1991), Wendelin Werner a soutenu sa thèse en 1993 sous la direction de Jean-Francois Le Gall, professeur à l'ENS et à l'université Paris 6. Dès sa sortie de l'ENS, il est nommé chargé de recherches au CNRS. Après un séjour à Cambridge, il est affecté de 1995 à 1997 au Département de mathématiques et applications de l'ENS (Unité Mixte de Recherche du CNRS, UMR8553), avant d'être nommé professeur à l'université Paris-Sud. Sa médaille récompense des travaux très novateurs, alliant probabilités et analyse complexe : développés en collaboration avec G. Lawler et O. Schramm, ils portent principalement sur la géométrie du mouvement brownien de dimension 2 et l'équation de Loewner stochastique, et ont conduit à des applications remarquables en physique théorique (théorie des champs conformes). Avec Wendelin Werner, la Médaille Fields distingue pour la première fois un spécialiste de la théorie des probabilités. Ses travaux se placent en fait à l'interface entre cette théorie et la physique statistique. Le fait que les modèles étudiés possèdent des propriétés asymptotiques d'invariance conforme conduit aussi à l'utilisation d'outils sophistiqués d'analyse complexe. Un exemple simple mais significatif des résultats de Wendelin Werner est fourni par l'étude de la probabilité de non-intersection de deux marches aléatoires planes. Considérons une particule qui se déplace de manière aléatoire sur le réseau des points du plan à coordonnées entières, selon les règles suivantes : à l'instant initial la particule se trouve à l'origine puis, à chaque instant entier strictement positif, elle saute en l'un des quatre plus proches voisins du point occupé précédemment, avec la même probabilité 1/4 pour chacune des possibilités, indépendamment du passé. Par définition, la trajectoire de la particule entre les instants 0 et n est l'ensemble des points qu'elle visite entre ces deux instants. Considérons aussi une seconde particule qui se déplace selon les mêmes règles, indépendamment de la première. On s'intéresse alors à la probabilité que l'origine soit le seul point commun aux trajectoires des deux particules entre les instants 0 et n. On savait depuis assez longtemps que cette probabilité se comporte comme (une constante fois) n à la puissance -a quand n est grand. La valeur exacte de l'exposant a = 5/8, conjecturée par les physiciens théoriciens Duplantier et Kwon en 1988, n'a pu être calculée rigoureusement que grâce aux travaux récents de Wendelin Werner et de ses collaborateurs Gregory Lawler et Oded Schramm. De manière inattendue, ce calcul a nécessité l'introduction de nouveaux processus aléatoires, les évolutions stochastiques de Loewner ou SLE en anglais : la définition du processus SLE consiste à introduire dans l'équation de Loewner (outil classique d'analyse complexe datant des années 1920) une fonction directrice aléatoire donnée par le mouvement brownien linéaire. Le calcul rigoureux des exposants d'intersection de marches aléatoires ou de mouvement browniens, généralisant l'exemple ci-dessus, a aussi permis d'établir une ancienne conjecture de B. Mandelbrot concernant la dimension de la frontière extérieure d'une courbe brownienne plane, qui était l'un des problèmes ouverts les plus fascinants de la théorie des probabilités : de manière précise, la dimension de Hausdorff de la frontière de la composante connexe non bornée du complémentaire d'une courbe brownienne plane (prise sur l'intervalle de temps [0,1] pour fixer les idées) est égale à 4/3. Mais, si le comité Fields a décidé cette année de récompenser Wendelin Werner, c'est avant tout parce que les processus SLE ont beaucoup d'autres applications spectaculaires à différents modèles de physique statistique, comme la percolation, les marches aléatoires auto-évitantes ou modèles de polymères, ou encore les arbres couvrants sur un réseau. Le développement de telles applications, par Wendelin Werner et ses collaborateurs, a constitué un pas de géant dans la compréhension mathématique de ces modèles. |
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